Tip:
Highlight text to annotate it
X
La oss se om vi kan lære en ting eller to om delvis
brøkdel ekspansjon, eller noen ganger det heter delvis
brøkdel nedbryting.
Hele ideen er å ta rasjonelle funksjoner - og en
rasjonell funksjon er bare en funksjon eller et uttrykk der
det er ett uttrykk deles med et annet - og til hovedsak
utvide dem eller råtner dem inn i enklere deler.
Og det første du må gjøre, før du kan selv
starter selve delvis brøkdel ekspansjon prosess, er
å sørge for at telleren har lavere grad
enn nevneren.
I situasjonen, problemet, at jeg har trukket akkurat her,
Jeg har skrevet her, det er ikke tilfelle.
Telleren har samme grad som nevneren.
Så det første skrittet vi ønsker å gjøre for å forenkle dette og å få det
til et punkt der telleren har lavere grad
enn nevneren er å gjøre en liten bit av
algebraisk divisjon.
Og jeg har gjort en video på dette, men det aldri vondt å få en
gjennomgang her, så å gjøre det, deler vi nevneren i
telleren for å finne ut resten, så vi deler x
squared minus 3x minus 40 i x squared minus 2x minus 37.
Så hvor mange ganger?
Du ser på høyeste grad sikt, slik x kvadrert går inn x
squared en gang, er en ganger dette hele greia x squared
minus 3x minus 40, og nå ønsker å trekke dette fra
at for å få resten.
Og se, hvis jeg trekke fra, så jeg kommer til å trekke fra, og deretter
minus minus er et pluss, et pluss, og deretter kan du legge dem.
Disse kansellere ut.
Minus 2x pluss 3x, det er x.
Minus 37 pluss 40, det er pluss 3.
Så dette uttrykket her oppe kan omskrives as - la meg bla
ned litt - som 1 pluss x pluss 3 over x squared
minus 3x minus 40 år.
Dette kan virke som noen form for magi ting jeg nettopp gjorde, men
dette er ikke annerledes enn hva du gjorde i fjerde eller femte
klasse, hvor du lærte å konvertere feilaktig regelmessige
brøker i blandet tall.
La meg bare gjøre en liten side eksempel her.
Hvis jeg hadde 13 over 2, og jeg ønsker å gjøre det om til et blandet tall,
hva du gjør - du kan sannsynligvis gjøre dette i hodet ditt nå - men
hva du gjorde er, deler du nevneren i telleren,
akkurat som vi gjorde over her.
2 går i 13.
Vi ser to går i 13 seks ganger, er 6 ganger 2 12, du
trekker det fra det, får du en rest på 1.
2 går ikke inn i en, så det er bare resten.
Så hvis du ønsket å skrive dette, ville det være antall
ganger nevneren går inn i telleren, det er seks, pluss
resten over nevneren.
Plus 6 - pluss en over to.
Og når du gjorde det på barneskolen, ville du
bare skrive 6 1 / 2, men 6 1 / 2 er det samme som 6 pluss 1 / 2.
Det er akkurat det samme vi gjorde her.
Nevneren gikk til telleren en gang, og da
det var en rest av x pluss 3 til overs, så det er ett pluss x
pluss 3 over dette uttrykket.
Nå ser vi at at telleren i denne rasjonelle uttrykket
har en lavere grad enn nevneren.
Den høyeste grad her er 1, den høyeste grad her er 2,
så vi er klare til å starte vår delvis brøkdel nedbryting.
Og alt som er, tar dette uttrykket her oppe og slå
den inn i to enklere uttrykk der nevnerne er
faktorer av denne lavere sikt.
Så gitt at, la oss faktor dette lavere sikt.
Så la oss se.
Hvilke to tall legge opp til minus 3, og når du multiplisere
dem, får du minus 40?
Så la oss se.
De må være forskjellige tegn, fordi når du
formere dem du får en negativ, så det må
være minus 8 og pluss 5.
Så vi kan skrive opp dette her - jeg skal bytte farger -
1 pluss x pluss 3 over x pluss 5 ganger x minus åtte.
5 ganger 8 er minus 40 - 5 ganger negative 8 er minus 40, pluss 5
minus 8 er minus 3, slik vi alle sett.
Nå skal jeg bare fokusere på denne delen akkurat nå.
Vi kan bare huske at det en sitter
ute out front.
Dette er det uttrykket vi ønsker å brytes ned eller utvide.
Og vi kommer til å utvide den inn i to enklere uttrykk
hvor hver av disse er nevneren - og jeg vil gjøre
kravet, og hvis tallene trene så kravet er
sant - jeg skal lage påstanden om at jeg kan utvide dette, eller råtner
dette, i to fraksjoner, der den første brøkdelen er bare noen
nummer en over de første faktoren, over x pluss 5, pluss noen
nummer b over den andre faktoren, over x minus åtte.
Det er min påstand, og hvis jeg kan løse for a og b på en måte som
det faktisk legger opp til dette, da jeg er ferdig og jeg vil
har fullt dekomponere denne fraksjonen.
Jeg antar er slik - jeg vet ikke om det er
korrekte terminologi.
Så la oss prøve å gjøre det.
Så hvis jeg skulle legge disse to begrepene, hva får jeg?
Når du legger noe, finner du den fellesnevner, og
fellesnevner, den enkleste fellesnevner, er å
multipliserer de to nevnerne, så la meg skrive dette her.
Så en over x pluss 5 pluss b over x minus 8 er lik -
vel, la oss få fellesnevner - det er lik
x pluss 5 ganger x minus åtte.
Og så et begrep, ville vi - en over x pluss 5 er det samme
ting som en ganger x minus 8 over hele denne greia.
Jeg mener, hvis jeg bare skrev dette her, ville du bare
kansellere disse to begrepene ut og du ville få en over x pluss 5.
Og så kan du legge det til fellesnevner, x pluss
5 ganger x minus 8, og det ville være b ganger x pluss 5.
Viktig å innse, at utseende.
Dette begrepet er akkurat det samme som dette begrepet hvis du bare
avbryte x minus 8, og dette begrepet er nøyaktig samme
ting som dette begrepet hvis du bare avbryte x pluss 5 ute.
Men nå som vi har en faktisk fellesnevner, kan vi legge
dem sammen, så vi får - la meg bare skrive på venstre side
her over - en over x pluss 5 - jeg beklager.
Jeg ønsker å skrive dette her borte.
Jeg vil skrive x pluss 3 over pluss 5 ganger x minus 8 er lik
til er lik summen av disse to tingene på toppen.
en ganger x minus 8 pluss b ganger x 5 pluss, alle at over
deres fellesnevner, x pluss 5 ganger x minus åtte.
Så nevnerne er like, så vet vi at dette,
når du legger dette sammen, må du få dette.
Så hvis vi ønsker å løse for a og b, la oss bare
sett som likestilling.
Vi kan se bort nevnerne.
Så vi kan si at x pluss tre er lik en ganger x minus
8 pluss b ganger x pluss 5.
Nå er det to måter å løse for a og b fra
dette punktet fremover.
Den ene er den veien jeg var faktisk undervist i det syvende
eller åttende klasse, som pleier å ta litt lenger tid, da
det er en rask måte å gjøre det og det aldri vondt å gjøre
den raske veien først.
Hvis du ønsker å løse for en, la oss ta en x som vil
gjør dette begrepet forsvinner.
Så hva x ville gjøre dette begrepet forsvinner?
Vel, hvis jeg sier x er minus fem, så dette blir 0, og
deretter b forsvinner.
Så hvis vi sier at x er minus 5 - Jeg er bare plukker en vilkårlig x til
kunne løse for dette - da dette ville bli minus 5
pluss 3 - la meg bare skrive det ut, minus 5 pluss 3 - er lik
til tider minus 5 minus 8 - la meg bare skrive det ut,
minus 5 minus 8 - pluss b ganger minus 5 pluss 5.
Og jeg plukket minus 5 til å gjøre dette uttrykket 0.
Så da får du - velge en lysere farge - minus 5 pluss
3 er minus 2, er lik - hva er dette? - Minus 13a
plus - det er 0, ikke sant?
Det er 0.
Minus 5 pluss 5 er 0, er 0 ganger b 0, og deretter dele både
sider ved minus 13, får du - negativer kansellere ut - du får
2 over 13 er lik a, og nå kan vi gjøre det samme opp
her og kvitte seg med en form ved å gjøre x er lik 8.
Hvis x er lik 8, får du x pluss tre er lik til 11, er lik
til en ganger 0 pluss b ganger - hva er 5-8 pluss 5
er - pluss b ganger 13.
Deres b ser litt ut som en 13.
Og så får du 11 er lik 13b, dele begge sider med 13,
du får b er lik til 11 over 13.
Så vi var i stand til å løse for vår a og våre b tallet.
Og så kan vi gå tilbake til vår opprinnelige likning
og vi kunne si, wow.
Dette er bare for å være lik 2 over 13, og dette bare har
å være lik 11 over 13.
Så vår opprinnelige, vår veldig originalt ting skrev vi opp
Her kan dekomponeres i en, det er dette en over her, pluss
dette, som er 2 over 13 - Jeg skal bare skrive det slik for
nå - to over 13, over x pluss 5.
Du kunne bringe 13 ned her hvis du ønsker å skrive
det slik at du ikke har en brøkdel over en brøk.
Pluss 11 over 13 ganger - over x minus åtte.
Og nok en gang, kan du bringe de 13 ned slik at du ikke har
en brøkdel over en brøk.
Men vi har bare lykkes dekomponert denne vakre - jeg
ønsker ikke å si at vi nødvendigvis forenklet det,
fordi du kan si, oh, vi bare har ett uttrykk her,
nå har jeg tre - men jeg har redusert graden av både
telleren og nevnerne.
Og du kan si, vel, Sal, hvorfor skulle jeg noensinne
nødt til å gjøre dette?
Og du har rett.
I algebra sannsynligvis vil du ikke.
Men dette er faktisk en veldig nyttig teknikk senere når
du kommer til kalkulus, og faktisk, differensial
ligninger, fordi mye av ganger er det mye enklere - og
Jeg skal kaste ut et ord her som du ikke forstår - å ta
integralet eller antiderivative av
noe som dette, da noe sånt som dette.
Og senere, når du gjør inverse Laplacetransformasjoner og
differensialligninger, er det mye enklere å ta en invers
Laplace transform av noe sånt som dette enn
noe sånt.
Så uansett, forhåpentligvis har jeg gitt deg et annet verktøy kit i din -
eller et annet verktøy i ditt verktøy kit, og jeg vil sannsynligvis gjøre en
par flere videoer fordi vi ikke har uttømt alle
eksempler på at vi kunne vi kunne vise for delvis
brøkdel nedbryting.