Tip:
Highlight text to annotate it
X
I denne videoen vil jeg lære deg ideen om limits (grenser), som er en veldig viktig idé.
Dette er grunnideen som alt annet i calculus bygger på.
Til tross for å være så superviktig, er ideen veldig enkel.
Jeg tegner en funksjon her - nei, jeg definerer en funksjon.
En ganske enkel funksjon. La oss si at f(x) er lik (x-1)/(x-1).
Du kan si: "Hei Sal, se, jeg har samme verdi i telleren og nevneren.
Hvis jeg har noe dividert med seg selv, er det lik én! Kan jeg bare forenkle dette til f (x) = 1? "
Og jeg ville sagt, "Vel, du har nesten rett, forskjellen mellom f (x) = 1 og den her
er at denne er udefinert når x = 1. Så hvis du sier - la meg skrive det over her - hvis du har
f(1), hva skjer da? I telleren får du (1-1), som er... jeg skriver det ned...
i telleren får du 0, og i nevneren får du (1-1), som også er 0. Og noe delt
på 0, som 0/0, er udefinert. Du kan forenkle brøken - du kan si at dette er
det samme som f (x) = 1, men du må legge til at x ikke kan være lik 1. Nå er denne
og denne ekvivalente. Begge disse er lik 1, for alle andre x enn 1. men
ved x = 1, er den udefinert. Denne er ikke definert, og denne er udefinert. Så hvordan blir grafen til denne funksjonen?
Så la meg tegne det... Det er min y=f(x)-akse, og denne her er min x-akse, og så la oss si at
dette er punktet x = 1, dette er x = -1, dette er y = 1, opp her kan jeg tegne -1 men dette
har liten betydning i forhold til denne funksjonen her, og la meg tegne den. Så den er egentlig for
alle x ulik 1, f (x) = 1. Så den ser slik ut...unntatt for 1. På 1, er f(x) udefinert, så
jeg tegner et lite gap her, denne sirkelen viser at denne funksjonen
er ikke definert - vi vet ikke hva denne funksjonen er lik for 1, vi har ikke definert det.
Denne definisjonen av funksjonen sier ikke hva som skjer for 1 - den er bokstavelig talt udefinert når x = 1.
Så dette er denne funksjonen, og igjen, hvis noen skulle spørre deg hva f(1) er, ville du ...
la oss si, vel dette var en funksjonsdefinisjon, du ville sette x = 1. Nei vent, det er et hull i funksjonen min
her, den er ikke definert. Så la meg skrive det igjen... vel, det er kanskje overflødig, men jeg skal skrive det på ny.
f(1) er ikke definert. Men hva om jeg spør deg, hva er funksjonen når x nærmer
seg 1? Og nå begynner dette å nærme seg ideen om en grense. Så når x går nærmere og nærmere 1...
hva nærmer funksjonen seg? Hele denne tiden, hva nærmer den seg mer og mer?
På venstre side, når du kommer tett inntil 1, så lenge du ikke velger 1, blir f (x) = 1.
Fra høyre side får du det samme. Så du kan si - og du blir
mer og mer kjent med denne tankegangen når vi gjør flere oppgaver - at grensen når
x (og lim, som er forkortelse for limit - grenseverdien) - når x går mot 1 for f (x) er lik...
Når vi kommer nærme, vi kan komme utrolig, uendelig nær 1 så lenge vi ikke velger 1...
Og vår funksjon blir lik 1, den kommer nærmere og nærmere 1,
den er egentlig lik 1 hele tiden. Så i dette tilfellet kan vi si at grenseverdien når x går mot 1 for f (x)
er lik 1. Så igjen, sier vi bare, "se, hva nørmer funksjonen seg
når x går nærmere og nærmere 1?"
La meg gjøre et annet eksempel der vi arbeider med en kurve, slik at du har den generelle ideen.
Så la oss si at jeg har f (x den funksjonen) - la meg, bare for skyld for variasjon, la meg kalle det g(x).
La oss si at vi har g(x) er lik - jeg kan definere det dette måten vi kan definere det som x ²
Når x ikke er lik 2, og la oss si at når x = 2, det er lik 1. Så igjen, slags en interessant
funksjonen - som du ser - ikke er fullt ut kontinuerlig. Den har en discontinuity. La meg graph det.
Så dette min y=f(x)-aksen, dette er min x-aksen rett over her. La oss si at dette er x = 1, dette er x = 2,
Dette er -1, er dette -2... Så overalt unntatt x = 2, den er lik x ². Så la meg trekke det sånn,
Dette skal bli en Parabel, det ser ut noe sånt... Det er skal se noe...
La meg trekke en bedre versjon av parabola. Så ser det omtrent slik ut, ikke de mest vakkert
tegnede Parabel i historien til tegning parabler, men jeg tror det vil gi deg inntrykk av hva Parabel
ser ut som, forhåpentligvis. Det skal være symmetrisk... La meg omtegne det, fordi det er ganske stygg.
Som ser bedre, OK, OK, der du går. Alright.
Nå, dette skal være diagram over bare x ², men det er ikke x ² når x = 2. Så igjen, når x = 2,
Vi skal ha en liten bit av en discontinuity her, så jeg vil trekke et gap rett over der,
fordi når x = 2, funksjonen er lik 1.
Jeg gjør ikke dem på samme skala... På grafen av f (x) = x ² dette ville være 4, dette ville være 2,
Dette ville være 1, vil dette være 3. I så fall x = 2, vår funksjon er lik 1.
Så dette er litt av en bisarre funksjon, men du kan definere det på denne måten, kan du definere en funksjon men
du liker å definere den! Og så, legge merke til, det er akkurat som grafisk fremstilling av f (x) = x² bortsett fra når du kommer til 2,
Det har dette hullet, fordi du ikke bruker den "g (x) = x ² når x = 2", du bruker "g (x) = 1".
Hvis jeg har å si f (x), beklager jeg.
Du bruker g (x) = 1, så da bare nøyaktig klokken 2, den slippes ned til 1, og deretter det holder å gå langs x ².
Så er det et par ting. Hvis jeg skulle bare evaluere funksjonen - g(2),
Vel ser du på denne definisjonen. OK, når x = 2, jeg bruker denne situasjonen rett over her,
og den forteller meg det kommer til å være lik 1. La meg spørre et mer interessant spørsmål, eller kanskje en mer
interessant spørsmål. Hva er grensen når x går mot 2 g(x)? Nok en gang har lyst notasjon, men
er det å spørre noe ganske ganske enkelt. Det sier "som x blir nærmere og nærmere 2...
som du komme nærmere og nærmere - og dette ikke er en streng definisjon, vil vi gjøre det i fremtiden videoer-
som x blir nærmere og nærmere til 2, hva er g(x) nærmer? Så hvis du kommer til 1,9 og 1.999 og deretter 1.999999
og deretter 1.9999999, hva er g(x) nærmer seg? Hvis du var å gå fra positiv retning
Hvis du skulle si 2.1, hva er g(2.1)? Hva er g(2.01)? Hva er g(2.001)?
Hva er det nærmer seg som vi komme nærmere og nærmere det?
Og du kan se den visuelt ved å tegne grafen. Som g kommer nærmere og nærmere 2...
Og hvis vi skulle følge med grafen, ser vi at vi er nærmer seg 4,
Selv om det er ikke der funksjonen er - faller funksjonen til 1 - grensen på g(x) som
x tilnærminger 2 er lik 4. Du kan selv gjøre dette numerisk ved hjelp av en kalkulator.
Og la meg gjøre det, fordi jeg tror det vil være interessant. Så la meg få en kalkulator ut...
La meg få min tillitsverdig TI-85 ut... Så er her min Kalkulator... Og du kan numerisk sier:
OK, hva er det skal tilnærming når du nærmer deg x = 2? Så la oss prøve 1,9. For x = 1,9, du ville bruke dette
TOP-setningsdel, rett over her. Så du må 1.9², og så du ville få 3,61 tommer.
Vel, hva hvis du får enda tettere til 2? Så 1.99, og igjen la meg firkantet som,
Vel er jeg på 3,96. Hva om jeg gjøre 1.999 og jeg kvadrat som?
Jeg skal få 3.996. Legg merke til, jeg får nærmere og nærmere og nærmere til vårt punkt.
Hvis jeg fikk virkelig lukke - 1.999999999999²? Hva er jeg skal få til? Det er faktisk ikke kommer til å være
nøyaktig 4 - denne kalkulatoren bare rundet ting opp - fordi vi skal fσ til et tall virkelig virkelig
virkelig virkelig nær 4. Og vi kan gjøre noe fra positiv retning, også, og det faktisk
må være det samme nummeret når vi nærmer oss fra den nedenfor, hva vi prøver å nærme seg,
og over hva vi prøver å nærme seg. Så hvis vi prøver 2.1², får vi 4.4...
La meg gå et par skritt videre...
2.0001². Så dette er mye nærmere 2 nå. Nå får vi mye nærmere 4.
Så nærmere vi komme til 2, nærmere det virker som vi får til 4.
Så igjen det er numeriske måte av ser at grensen som x nærmer seg 2 fra begge retninger
av g(x) - selv om rett ved 2, funksjonen er lik 1, fordi det er usammenhengende-
grensen som vi nærmer 2, vi komme nærmere og nærmere og nærmere til 4.