Tip:
Highlight text to annotate it
X
For noen videoer siden fortalte jeg deg at alt som er opphøy i 0 er lik 1.
x⁰ er lik 1.
Og jeg ga deg ett argument for at det er slik.
Jeg brukte eksempelet: 3¹ er lik 3.
3² er lik 9.
Og 3³ er lik 27.
Så hver gang vi minsker eksponenten deler vi på 3.
27 delt på 3 er 9.
9 delt på 3 er 3.
Og 3 delt på 3 er 1.
Så det er dét 3⁰ burde være.
Så det er én måte å se det på.
Den andre måten å se det på er at
det må være sånn for at potensreglene skal fungere.
For eksempel sa jeg at
a opphøyd i b ganger a opphøyd i c er lik
a opphøyd i b pluss c.
Hva skjer om c er 0?
Hva skjer om vi har a opphøyd i b ganger a opphøyd i 0?
Ifølge denne egenskapen må det bli
a opphøyd i b pluss 0,
som er lik a opphøyd i b.
Så a opphøyd i b, ganger a opphøyd i 0,
må være lik a opphøyd i b.
Om du deler begge sider på-- La meg skrive det om.
a opphøyd i b, ganger a opphøyd i 0.
Hvis vi bruker denne egenskapen her, må det bli a opphøyd i b.
b pluss 0 er b.
Om deler du begge sider på a opphøyd i b, hva får du?
På venstre side får du bare
a opphøyd i 0.
Disse opphever hverandre.
a oppyøhd i 0 er lik 1.
Og du kan bruke lignende argument i nesten alle potensreglene.
Det er nødvendig at noe opphøyd i 0 er lik 1.
Det gir også mening når vi deler på 3 for hvert steg
når vi minsker eksponenten.
Og det fortsetter å funke.
Når du tar 3⁻¹, så vi
i forrige video at det er lik 1/3¹,
eller 1/3.
Så igjen, fra 3⁰ til til 1/3, deler du på 3.
Så det gir mening at 3⁰ er lik 1.
Men det er fortsatt et lite hull,
hva med 0⁰?
Dette er et merkelig uttrykk,
0 ganget med seg selv 0 ganger.
Det kommer an på sammenhengen,
noen vil si at dette er udefinert, men
mye oftere, i min erfaring, er det definert som 1.
Definert som 1.
Og grunnen, selv om det ikke er intuitivt--
Og du kan skrive 0⁰ i google og det vil gi deg 1.
Selv om det er ikke er intuitivt, er grunnen til
at det er definert sånn er at det får mange formler til å fungere.
Spesielt binomialformelen fungerer, for binomialkoeffisienter
som jeg ikke skal gå inn på her,
når 0⁰ er lik 1.
Så det kan være interessant å tenke på hva betyr.
La oss snakke litt om de andre egenskapene, og
sette de sammen i et par oppgaver.
I forrige video forklarte jeg deg hva det vil si å opphøye noe i et negativt tall.
a opphøyd i -1, eller kanskje jeg burde si a opphøyd i -b,
er lik 1 over a opphøyd i b.
Så for å gjøre det med noen eksempler,
3⁻³ er lik 1/3³,
som er lik 1 delt på 3 ganger 3 ganger 3,
som er lik 1/27.
Om jeg spurte deg hva (1/3)⁻² er.
Vel, dette blir lik 1 over 1/3 i andre.
Du kvitter deg med minustegnet, og får 1 delt på potensen.
Så dette blir lik 1 over--
Hva er 1/3 ganger 1/3?
1/9.
Dette er lik: dette er 1 delt på 1/9, som er
det samme som 1 ganger 9, så dette er lik 9.
Og dette gir fullstendig mening, fordi 1/3--
Husk 1/3 er det samme som 3⁻¹.
3⁻¹ er 1 over 3¹,
som er det samme som 1/3.
Så om vi erstatter 1/3 med 3⁻¹, blir dette
3⁻¹ opphøyd i -2.
Disse to uttrykkene er tilsvarende.
Og om vi bruker en av egenskapene vi lærte i den første videoen, kan vi
finne produktet av disse to eksponentene.
Så dette er lik 3 opphøyd i -1 ganger -2,
som bare er 2. Så dette er lik 9.
Så det er ganske ryddig hvordan alle disse potensreglene
passer sammen. De motsier ikke hverandre.
Og det spiller ingen rolle hvilken regel du bruker
du finner svaret til slutt, bare du ikke gjør noe tullete.
Det siste jeg vil definere er ideen om brøk som eksponent.
Så om jeg har noe opphøyd i en brøk.
La oss si at jeg har a opphøyd i 1/b.
Jeg skal definere dette.
Dette skal bli den b-ende roten til a.
La meg gjøre det klart her.
La meg gjøre det med tall her.
Om jeg sier 4 opphøyd i 1/2.
Dette er lik kvadratroten til 4.
Som, hvis vi tar den positive kvadratroten, er lik 2.
Så 8 opphøyd i 1/3,
det er å ta kubikkroten til 8.
Og dette er på noen måter, noe av
det mest forvirrende med eksponenter.
Her spør jeg hvilket tall, ganget med seg selv tre ganger
er lik 8.
Hvis jeg sa at x er lik 8 opphøyd i 1/3,
er dette akkurat det samme som å si at
x³ er lik 8.
Og hvordan vet jeg at disse er like uttrykk?
Vel, jeg kan opphøye begge sider av denne ligningen i 3.
Hvis jeg opphøyer venstresiden i 3,
og høyresiden i 3, hva får jeg?
På venstresiden får jeg x³.
På høyresiden får jeg 8 opphøyd i 1/3 ganger 3,
som er lik 3 over 3, som bare er 1.
Så hvis x er lik 8 opphøyd i 1/3, hva er x?
Vel, 2 ganger 2 ganger 2 er lik 8.
Det er egentlig ingen enkel måte, spesielt når du skal finne
fjerderota, eller femterota, og du har desimaler.
Du trenger nok som regel en kalkulator for å regne ut disse.
Men 8 opphøyd i 1/3, eller 16 opphøyd i 1/4,
eller 27 opphøyd i 1/3, er ikke for vanskelige å regne ut.
Dette her er lik 2.
La oss gjøre det litt mer forvirrende. La oss gjøre det--
Hva er 27 opphøyd i -1/3?
Ikke bli for bekymret.
Vi skal gjøre det steg for steg.
Når du har en negativ eksponent her,
er dette akkurat det samme som 1 delt på 27 opphøyd i 1/3.
Disse to er like.
Du kvitter deg med minustegnet, og setter 1 over hele greia.
Så, hva er 27 opphøyd i 1/3?
Hvilket tall ganget med seg selv tre ganger er lik 27?
Det er lik 3.
Så dette blir lik 1 over 3.
Ikke så ille.
Nå skal jeg ta det til et nytt nivå,
og gjøre det enda mer forvirrende.
Hva er--
La meg gjøre noe interessant.
Hva er 8 opphøyd i 2/3?
Det ser litt skummelt ut.
Alt du må huske er at dette er det samme, ifølge
potensreglene, som
8² opphøyyd i 1/3.
Hvordan vet jeg det?
Vel, om jeg ganger disse to eksponentene blir det 2/3.
Så 8 opphøyd i 2/3 er det samme som,
tredjerota av 8².
Men du kan se det på en annen måte.
Dette er også lik 8 opphøyd i 1/3, i andre.
Uansett, når jeg ganger disse eksponentene
får jeg 8 opphøyd i 2/3.
La oss bekrefte for oss selv at vi får det samme svaret.
8² er 64.
Så opphøyer jeg det i 1/3.
Her nede har vi 8 opphøyd i 1/3.
Vi vet allerede hva det er.
Det er 2, fordi 2³ er lik 8.
Så dette er 2².
Hva er 64 opphøyd i 1/3?
Hva kan man gange med seg selv tre ganger og få 64?
Vel, 4 ganger 4 ganger 4 er lik 64.
Eller 4³ er lik 64,
som betyr at
4 er lik 64 opphøyd i 1/3.
Så dette er lik 4.
Og, heldigvis er 2² også lik 4.
Så det spiller ingen rolle hvilken vei du gjør det.
Du kan finne kvadratet, og så tredjerota, eller
du kan finne tredjerota, og så kvadratet.
Du vil få akkurat samme svar.
Alt jeg har gjort så langt har
vært med faktiske tall.
La oss gjøre et par problemer for å føre sammen alt vi har gjort
med variabler.
La oss si vi vil skrive et par uttrykk,
og vi vil være sikre på at det ikke er noen negative
eksponenter i svaret.
La oss si at jeg har x⁻³ over x⁻⁷, vel
det er flere måter å se det på.
Vi kan se det som x⁻³ ganger 1/x⁻⁷.
Hva er 1/x⁻⁷?
Dette er det samme som x⁷.
Hvis du har 1 delt på noe, kan du fjerne 1-tallet og brøkstreken
og sette et minustegn foran eksponenten.
Men setter du et minustegn foran -7--
Får du x⁷.
Så dette kan forenkles til x⁻³ ganger x⁷.
Og så kan vi legge sammen eksponentene.
Og det blir x⁴.
En annen måte vi kunne ha gjort det
er at vi kunne bare ha trukket fra eksponentene.
Vi kunne sagt at dette er samme grunntall, så
dette blir x opphøyd i -3 minus -7.
-3 minus -7, det er -3 pluss 7,
som er lik x⁴.
Og, en siste måte--
Vel, det er faktisk flere måter vi kunne gjort det.
Du kunne sagt x⁻³/x⁻⁷.
Unnskyld, ikke negativ x.
Over x⁻⁷.
x⁻³ er det samme som 1/x³.
Det er det uttrykket der.
Ganger 1/x⁻⁷.
Så dette blir lik: 1 over x³ ganger x⁻⁷.
Du kan legge sammen eksponentene.
Så det blir lik 1 over-- 3 minus 7 er lik x⁻⁴.
Og hvis vi tar den omvendte brøken av denne, kan
vi sette et minustegn foran dette minustegnet, og få et positivt tall.
Så dette blir lik x⁴.
Så uansett hvordan vi gjør det, bare vi holder oss til reglene
får vi x i fjerde.
La oss gjøre en til. En litt hårete en,
så tror jeg vi er ferdige for nå.
La oss si vi har 3x² ganger y opphøyd i 3/2,
og vi skal dele det på x, ganger y opphøyd i 1/2.
Igjen, dette er det samme som 3 ganger x-ene her, så
3 ganger x² over x,
ganger y opphøyd i 3/2 over y opphøyd i 1/2.
Dette blir lik 3 ganger--
Hva er x² delt på x?
Eller x² delt på x¹?
Det er lik x opphøyd i 2 minus 1.
Og dét, ganger y opphøyd i 3/2 minus 1/2.
Så, hva blir hele greia?
Det blir 3 ganger x--
2 minus 1 er bare 1. Jeg kan bare skrive en x der.
Ganger--
3/2 minus 1/2 er 2/2
Så det er y opphøyd i 2/2.
Og y opphøyd i 2/2 er også bare y.
Så dette er lik 3xy.
Uansett oppfordrer jeg deg til å gjøre mange flere slike oppgaver.
Men du ser at bare ved å bruke reglene
vi har lært i de siste videoene
kan du forenkle så og si alle potensuttrykk.