Tip:
Highlight text to annotate it
X
Vi er på problem 48.
La oss si at hvis x i andre er lagt x, er summen 42.
Så la oss skrive det.
Hvis x i andre er lagt til x, er summen lik 42.
Hvilke av de følgende kan være verdien av x?
Så i all hovedsak ønsker de at vi skal løse denne ligningen.
Så den enkleste måten å gjøre det på er å skrive det som et kvadrat
tilsvarende 0 og deretter faktorisere det.
Vi kan skrive dette som x i andre pluss x minus 42
er lik 0.
La oss tenke.
Hvilke to tall når jeg legger til dem er lik 1, og når jeg
multiplisere dem er lik minus 42?
Og det faktum at når jeg multiplisere dem er lik minus 42
forteller meg at en av dem må være positiv og en av dem
må være negativ.
Det er den eneste måten når du multipliserer to tall
at du kommer til å få et negativt tall.
Så en av dem må være positiv, og en av dem må
være negativ.
Så når vi legger til et positiv og et negativ,
finner du den virkelige differansen mellom de to.
Så differansen mellom de to tallene må være 1 og
deres produkt må være 42.
Og jeg la merke til at når jeg ser 42 tenker jeg umiddelbart
oh, 6 og 7.
6 ganger 7 er 42.
Når du legger dem til får du en positiv 1, er 7
sannsynligvis den positive-og minus 6 eller 6 er sannsynligvis
den negative.
La oss prøve det ut.
x pluss 7 ganger x minus 6 lik 0.
7 ganger minus 6 er minus 42.
Det er egentlig 7x pluss minus 6x er lik positiv x.
Eller du kan tenke 7 pluss minus 6 tilsvarer
koeffisient på x, som er lik 1.
Men uansett fungerer det.
Og du kan multiplisere dette og prøve det ut.
Og alt jeg sier er ikke voodoo.
Grunnen til at jeg sier at de må summere seg til 1 er
fordi når du multipliserer dette ut, er dette hva
som bygger opp begrepet.
Denne 7 ganger x pluss minus 6 ganger den andre x.
Det er hva som bygger dette begrepet når du multiplisere det ut.
Dette begrepet kommer fra x-ganger x.
Minus 42 kommer fra 7 ganger minus 6.
Nå er vi uansett på dette punktet.
Vi sier OK, vel hvordan får vi - vi har to ting når
du multiplisere dem lik 0.
Vel det betyr at en av dem eller begge av dem må
tilsvare 0.
Så det betyr at x pluss 7 er lik 0, noe som betyr
at man må subtrahere 7 fra begge sider.
Hvilket betyr at x er lik minus 7.
Eller x minus 6 er lik 0.
Legg til 6 på begge sider. x er lik 6. x vil
være 6 eller minus 7.
Og de har en av valgene der,
som var valg A.
Neste problem.
49.
Hva slags kvantitet bør legges til begge sider av denne ligning
for å fullføre kvadratet?
Når du fullføre kvadratet ønsker du at det skal
bare se ut som en - du ønsker det som er på venstre
å se ut som et perfekt kvadrat.
Hva mener jeg med et perfekt kvadrat?
Så hvis jeg har x pluss a i andre, er lik x pluss a
ganger x pluss a.
Det tilsvarer x ganger x, x i andre.
x ganger a, slik at det er pluss ax.
Nå denne a´en ganger denne x´en
Så det er en annen ax.
Pluss den a´en ganger den a´en.
Pluss a i andre.
Det tilsvarer x i andre.
Pluss - vi har to av disse nå - pluss 2ax pluss a i andre.
Så egentlig ønsker vi dette, vi vil at den venstre siden
vil ha denne formen
Så vi sier at dette er et perfekt kvadrat.
Vi kan si det er det samme som x pluss a i andre.
La oss tenke på hvordan vi kan gjøre det.
Hvis vi har x i andre minus 8x er lik 5, og jeg satt av en
plass her for en grunn, fordi vi ønsker å legge til eller
trekke fra noe her så det ser ut som en perfekt kvadrat.
Så tenk på det.
Når vi har dette formatet for at denne tingen vil være et
perfekt kvadrat, uansett hva denne koeffisienten er akkurat her,
dette begrepet her må være halvparten av dette, i andre.
a i andre er halvparten av 2a i andre.
Hvis vi tar halvparten av minus 8, det er minus 4.
I dette tilfellet hvis vi sier 2a er lik 8,
vil a være minus 4.
Så minus 4 i andre er hva?
Det er pluss 16.
Dette er en ligning.
Så det du gjør på den ene siden av en ligningen må du gjøre
på den andre siden av ligningen.
Så du må si at det der også tilsvarer
Du må legge til 16 på begge sider.
Ellers endrer du ligningen.
Forhåpentligvis gjenkjenner du dette allerede som en
perfekt ligning.
Jeg mener du kan se på dette mønster her, eller du kan
si, OK, hvis jeg legger til minus 4 til seg selv to ganger får jeg minus 8.
Hvis jeg multiplisere det med seg selv får jeg 16.
Så dette er x minus 4 i andre.
Det er lik 25.
Og faktisk, hvis du er nysgjerrig - og vi gjorde dette i
Khan Akademiet, vi lagde et par videoer om dette -
dette er hvordan du påviser annen grads likning.
Du fullfører i all hovedsak ligningen med vilkårlige tall
a, b, og c, og du vil få annen grads likningen.
Du vet at vi viser det på 10 minutter, så det er ikke
en så utrolig vanskelig ting å forstå.
De ønsker å vite hva du legger til på begge sider av
denne ligningen?
Hvilken kvantitet bør legges til på begge sider av denne ligning
for å fullføre kvadratet?
Så svaret på denne var 16.
Men de kunne også ha sagt at vi kan løse det
ved å fullføre ligningen.
Og du ville sagt, Åh, x minus 4 i andre er lik 25.
Så x minus 4 er lik pluss eller minus 5.
Og så kan du si at x er lik pluss eller
minus 5 pluss 4.
Så kan du si, OK, som er 4 pluss
positiv 5 er 9.
4 pluss minus 5 er - eller, minus 1.
Uansett spurte de oss ikke om det, så vi trenger ikke
bruke for mye tid til å tenke på det.
La oss se, vi har kommet til problem 50.
La meg se, problem 50.
Jeg kopierer og limer inn 50 og 51.
Ok, hva er løsningen på denne annen grads
ligningen x i andre pluss 6x er lik 16?
Fristelsen her er å virkelig prøve å løse
den på samme måte du løser en lineær likning.
Jeg vet ikke, faktoriser ut en x og - jeg vet ikke,
gjør alt annet
Men det viktigste er å erkjenne at dette er en
annengrads likning.
Den enkleste måten å løse det på er å legge alle termer på
den ene siden og deretter få en 0 på den andre siden.
Deretter enten faktorisere den eller bruke den
faktiske annen grads ligningen.
Eller fullføre kvadratet, hva enn du må gjøre.
Så la oss trekke fra 16 fra begge sider.
Og du får x i andre pluss 6x minus 16 er lik 0.
Jeg trekker kun 16 fra begge sider for å komme hit.
Før vi hiver oss inn i annen grads ligningen,
la oss se om vi kan faktoriserer en ved inspeksjon
Så hvilke to tall, når jeg legger dem til er lik 6 - og vi
ønsker positiv 6 - når jeg multiplisere dem lik minus 16?
Nok en gang, da det er minus 16, hvis du multipliserer to
nummer vil du får et negativt tall.
De må være forskjellige tegn.
En må være positiv og en må være negativ.
Deres differanse vil være 6 fordi en er positiv og
en er negativ.
La meg tenke på det.
Hvis jeg hadde minus - vel, 8 og 2 er lik 16.
Og de er 6 fra hverandre.
Så hvis jeg tar pluss 8 og minus 2 - ikke sant.
Plus 8 og minus 2 er positiv 6.
Så det er x pluss 8 ganger x minus 2.
Det tar egentlig bare en hel del praksis.
Du sier: OK, hvilke to tall?
16.
Ok.
8 og 2.
Vel, det kommer til å bli forskjellige tegn.
Men jeg har en positiv her, så uansett hvilke nummer
som er større kommer trolig til å være positiv.
Så positiv 8 og minus 2.
Ja, når du legger dem sammen, tilsvarer de minus 6.
Ja, det fungerer.
Så du setter det lik 0.
Og du sier OK, denne må være lik 0, eller så må den være
lik 0.
Så x er enten tilsvarende minus 8.
Hvis du sier x pluss 8 er lik 0 og deretter trekker 8 fra begge
sider, får du x er lik minus 8.
Jeg burde ikke ha hoppet over dette steget, men
Jeg vil gjøre steget her.
Eller du kan si x minus 2 er lik 0.
Legg 2 til begge sider, du får x er lik 2.
Hvilken x gjør dette begrepet lik 0?
Du kan se på det fra inspeksjon.
Så x kan enten være minus 8 eller 2, og det er valg C.
Problem 51.
Leanne løste ligningen x kvadrat pluss 4x
er lik 6 ved å fullføre kvadratet.
Hvilken ligning er del av hennes løsning?
OK, så den samme tingen.
x i andre pluss 4x.
Når du fullføre kvadratet vil du legge til noe her.
Så jeg lar det være igjen litt plass her.
Er lik 6.
Så hva kan jeg legge til her sånn at dette uttrykket ser
ut som et perfekt kvadrat?
Gå til problemet vi løste et
par problemer siden.
Uansett hva som er her burde være kvadratet til halvparten av dette.
Så 4 - vel halvparten av det er 2.
2 i andre er lik 4.
Så jeg bør legge til 4 på den side.
Hvis jeg legger til 4 på den siden, må jeg legge til 4 på
denne siden også.
Nå er dette 2 pluss 2 er lik 4.
2 ganger 2 er lik 4.
Så dette er x pluss 2 i andre.
Jeg ønsker virkelig at du får intuisjonen.
Ikke memorere trinnene for å fullføre kvadratet.
Jeg vil at du skal virkelig forstå hvorfor.
Dette er kvadratet av halvparten av dette.
Vi demonstrerte det på begynnelsen.
Kvadrat mange binomialere og se for deg selv at det ***
alltid kommer til å være tilfelle.
Uansett, så dette er x pluss 2 i andre.
Det vil være lik - 6 pluss 4 er lik 10.
Og det er valg B.
Jeg tror vi har tid til en til.
Ett problem til, problem 52.
Kopiert, og nå har jeg limt det inn.
Carter løser denne likningen ved faktorisering.
Hvilket uttrykk kan være én av hans riktige faktorer?
Igjen liker jeg å personlig adskille
nummeret som går inn i alle.
Og alle disse er delelig med 5.
Det forenkler ting i hodet mitt.
Så hvis jeg deler alle disse på 5 - faktisk så kan jeg bare
dele begge sider av denne ligningen med 5.
0 delt på 5 er 0.
Og så venstre side delt med 5 blir 2x
i andre minus 5x pluss 3 er lik 0.
Hvis dette er 2x i andre her, så vil det være to
tall når du multiplisere dem lik 3 og når du - så
la oss tenke på det en liten stund.
La meg skrive det ned her fordi jeg tror jeg trenger
mer plass.
2x i andre minus 5x pluss 3 er lik 0.
Jeg delte kun begge sider av likningen
med 5 for å komme hit.
La oss se hva vi kan gjøre her.
Så vi har en 2x i andre her og de har allerede
hintet til oss at vi kommer til å ha en heltall løsning,
så vi kan faktorisere dette.
Så intuisjonen sier at dette kommer til å være 2 x ganger -
du vet, pluss noe.
Pluss a.
Ganger hva?
Sannsynligvis ganger x, ikke sant?
2x ganger x er 2x i andre.
Det ville ikke vært helt tydelig hvis de
ikke allerede hadde fortalt oss at vi kan faktorisere dette.
Du må kanskje bruke en
annengrads ligning eller noe.
Faktisk så ville ikke annengradsligningen være
gale å bruke her fordi du kan bare
type plugg og play.
La oss se om vi kan få intuisjonen.
Så det vil være 2x pluss noe, ganger x pluss
noe annet.
Hvis vi skulle multiplisere dette ut, får du 2x ganger x er 2x
i andre som det skal.
2x ganger b er pluss 2bx.
a ganger x er pluss ax.
a ganger b er pluss ab.
La oss se hva vi får.
Så pluss 2b pluss ax pluss ab.
2x i andre.
OK, nå kan vi gjøre mønster matching.
Dette var vår opprinnelige ting.
Så 2 ganger b pluss a må være lik - dette begrepet er
det samme som dette begrepet her.
Og dette begrepet må være det samme som
det begrepet der.
Så først og fremst har jeg en positiv 3 her.
Så jeg multiplisere to tall for å få en positiv 3.
Så de begge må være enten positiv eller negative.
Så den andre interessante tingen er at vi har - når jeg tar
2 ganger en av dem pluss den andre,
får jeg et negativt tall.
Så den eneste måten når du håndtere negative tall,
når du multiplisere det ganger en positiv og legger dem
til hverandre får du et annet negativt tall, er hvis de er
begge negative.
Dette fortalte oss at de begge må være negativ
fordi dette er positiv.
Og da når du legger dem til uten noe negativt
tegn får du et negativt tall, som forteller deg at den
må være negativ også.
Så la oss se.
La oss prøve 3 - negativ 3 og negativ 1.
Hvis negativ 3 og negativ 1.
Så du har rett.
Ja,
b er lik minus 1 og a er lik minus 3, deretter 2
ganger minus 1 er minus 2.
Minus 3.
Riktig, så b er lik minus 1 og a er lik minus 3.
Dette er litt av en kunstform det her.
Jeg mener at det er ikke som plugg og play, en meget mekanisk måte
å gjøre dette på.
Annengradsligningen er en, men dette er den beste måten som
I det minste vet jeg hvordan man gjør disse uten.
Så vi vet hva a og b er.
Så det er 2x - a er minus 3.
2x minus 3 ganger x pluss b. b er minus 1.
Så det er faktorisering.
Så 2x minus 3 ganger x minus 1, hvilken?
De har denne her.
2x minus 3.
Og jeg har ikke mer tid.
Ser dere i den neste videoen.